Menguasai Konsep Fungsi: Contoh Soal Esai Kelas 10 Semester 2 dan Pembahasannya

Fungsi adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang menjadi dasar bagi banyak topik lanjutan. Di kelas 10 semester 2, pemahaman tentang fungsi diuji secara mendalam melalui berbagai bentuk soal, termasuk soal esai. Soal esai ini tidak hanya menguji kemampuan menghitung, tetapi juga kemampuan menganalisis, menginterpretasikan, dan mengomunikasikan pemikiran matematis. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal esai fungsi yang sering muncul di kelas 10 semester 2, lengkap dengan pembahasan dan kunci jawaban, untuk membantu siswa mempersiapkan diri dengan lebih baik.

Mengapa Soal Esai Penting dalam Memahami Fungsi?

Soal esai menuntut siswa untuk lebih dari sekadar memberikan jawaban akhir. Mereka harus mampu menjelaskan langkah-langkah pemikiran mereka, memberikan justifikasi matematis, dan bahkan membuat interpretasi dari hasil yang diperoleh. Dalam konteks fungsi, soal esai dapat menguji pemahaman tentang:

• Definisi Fungsi: Memahami syarat-syarat suatu relasi agar disebut sebagai fungsi.
• Domain, Kodomain, dan Range: Mampu menentukan dan menginterpretasikan himpunan-himpunan ini dalam berbagai konteks.
• Sifat-sifat Fungsi: Menentukan apakah suatu fungsi bersifat injektif, surjektif, atau bijektif.
• Operasi pada Fungsi: Melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi.
• Fungsi Invers: Menemukan dan mengaplikasikan fungsi invers.
• Aplikasi Fungsi: Menerapkan konsep fungsi dalam penyelesaian masalah kontekstual.

Dengan membahas soal-soal esai, siswa akan terdorong untuk berpikir kritis dan mendalam tentang setiap aspek dari konsep fungsi.

Contoh Soal 1: Definisi Fungsi dan Sifat-sifatnya

Soal:

Diketahui relasi $R$ dari himpunan $A = 1, 2, 3, 4$ ke himpunan $B = 2, 4, 6, 8, 10$. Relasi $R$ didefinisikan sebagai pasangan berurutan $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$.

a. Jelaskan apakah relasi $R$ tersebut merupakan sebuah fungsi dari $A$ ke $B$. Berikan alasan yang jelas.
b. Tentukan domain, kodomain, dan range dari relasi $R$.
c. Apakah relasi $R$ tersebut bersifat injektif? Jelaskan alasannya.
d. Apakah relasi $R$ tersebut bersifat surjektif? Jelaskan alasannya.

Pembahasan dan Jawaban:

a. Apakah relasi $R$ merupakan sebuah fungsi?

Untuk menentukan apakah suatu relasi merupakan fungsi, kita perlu memeriksa dua syarat utama:

1. Setiap elemen di himpunan asal (domain) harus memiliki pasangan di himpunan kodomain.
2. Setiap elemen di himpunan asal (domain) hanya boleh memiliki tepat satu pasangan di himpunan kodomain.

Mari kita periksa relasi $R$ berdasarkan syarat-syarat ini:

• Himpunan asal $A = 1, 2, 3, 4$.
• Pasangan berurutan dalam $R$ adalah $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$.

Kita perhatikan bahwa setiap elemen dari himpunan $A$ (yaitu 1, 2, 3, dan 4) muncul tepat satu kali sebagai komponen pertama dari pasangan berurutan.

• Elemen 1 berpasangan dengan 2.
• Elemen 2 berpasangan dengan 4.
• Elemen 3 berpasangan dengan 6.
• Elemen 4 berpasangan dengan 8.

Jawaban a: Ya, relasi $R$ tersebut merupakan sebuah fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$.
Alasan: Setiap elemen pada himpunan $A$ memiliki tepat satu pasangan pada himpunan $B$. Tidak ada elemen di $A$ yang tidak terpetakan atau memiliki lebih dari satu pemetaan ke $B$.

b. Tentukan domain, kodomain, dan range dari relasi $R$.

• Domain: Domain adalah himpunan semua elemen pertama dari pasangan berurutan dalam relasi. Dalam kasus ini, domain adalah himpunan $A$.
  Jawaban b (Domain): Domain dari $R$ adalah $A = 1, 2, 3, 4$.

• Kodomain: Kodomain adalah himpunan tujuan yang disebutkan dalam definisi relasi. Dalam kasus ini, kodomain adalah himpunan $B$.
  Jawaban b (Kodomain): Kodomain dari $R$ adalah $B = 2, 4, 6, 8, 10$.

• Range: Range (atau daerah hasil) adalah himpunan semua elemen kedua dari pasangan berurutan dalam relasi. Ini adalah elemen-elemen di kodomain yang benar-benar "terkena" oleh pemetaan dari domain.
  Dari pasangan berurutan $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$, elemen-elemen kedua adalah 2, 4, 6, dan 8.
  Jawaban b (Range): Range dari $R$ adalah $2, 4, 6, 8$.

c. Apakah relasi $R$ tersebut bersifat injektif?

Fungsi dikatakan bersifat injektif (atau satu-satu) jika setiap elemen yang berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda pula di kodomain. Dengan kata lain, jika $f(x_1) = f(x_2)$, maka haruslah $x_1 = x_2$.

Mari kita periksa fungsi $R$:

• $R(1) = 2$
• $R(2) = 4$
• $R(3) = 6$
• $R(4) = 8$

Kita lihat bahwa setiap elemen domain (1, 2, 3, 4) memiliki nilai fungsi yang berbeda (2, 4, 6, 8). Tidak ada dua elemen domain yang menghasilkan nilai fungsi yang sama.

Jawaban c: Ya, relasi $R$ tersebut bersifat injektif.
Alasan: Setiap elemen yang berbeda pada himpunan $A$ dipetakan ke elemen yang berbeda pula pada himpunan $B$. Tidak ada dua elemen domain yang memiliki bayangan (hasil pemetaan) yang sama di kodomain.

d. Apakah relasi $R$ tersebut bersifat surjektif?

Fungsi dikatakan bersifat surjektif (atau pada) jika setiap elemen di kodomain memiliki setidaknya satu elemen di domain yang memetakannya. Dengan kata lain, range fungsi sama dengan kodomainnya.

Mari kita bandingkan range dan kodomain dari fungsi $R$:

• Range dari $R = 2, 4, 6, 8$
• Kodomain dari $R = 2, 4, 6, 8, 10$

Terlihat bahwa elemen 10 pada kodomain tidak memiliki pasangan di domain. Artinya, tidak ada elemen di $A$ yang jika dipetakan oleh $R$ akan menghasilkan nilai 10.

Jawaban d: Tidak, relasi $R$ tersebut tidak bersifat surjektif.
Alasan: Terdapat elemen di kodomain (yaitu 10) yang tidak memiliki pasangan di domain. Range fungsi ($ 2, 4, 6, 8 $) tidak sama dengan kodomainnya ($ 2, 4, 6, 8, 10 $).

Contoh Soal 2: Operasi pada Fungsi dan Komposisi Fungsi

Soal:

Diketahui dua fungsi $f(x) = 2x – 3$ dan $g(x) = x^2 + 1$. Kedua fungsi ini terdefinisi pada himpunan bilangan real ($mathbbR$).

a. Tentukan $(f+g)(x)$ dan tentukan nilai dari $(f+g)(2)$.
b. Tentukan $(f cdot g)(x)$ dan tentukan nilai dari $(f cdot g)(-1)$.
c. Tentukan $(f circ g)(x)$.
d. Tentukan $(g circ f)(x)$.
e. Apakah $(f circ g)(x) = (g circ f)(x)$? Jelaskan mengapa.

Pembahasan dan Jawaban:

a. Tentukan $(f+g)(x)$ dan tentukan nilai dari $(f+g)(2)$.

Operasi penjumlahan fungsi $(f+g)(x)$ didefinisikan sebagai $f(x) + g(x)$.
$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
$(f+g)(x) = (2x – 3) + (x^2 + 1)$
$(f+g)(x) = x^2 + 2x – 2$

Untuk menentukan nilai dari $(f+g)(2)$, kita substitusikan $x=2$ ke dalam $(f+g)(x)$:
$(f+g)(2) = (2)^2 + 2(2) – 2$
$(f+g)(2) = 4 + 4 – 2$
$(f+g)(2) = 6$

Jawaban a:
$(f+g)(x) = x^2 + 2x – 2$
$(f+g)(2) = 6$

b. Tentukan $(f cdot g)(x)$ dan tentukan nilai dari $(f cdot g)(-1)$.

Operasi perkalian fungsi $(f cdot g)(x)$ didefinisikan sebagai $f(x) cdot g(x)$.
$(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x)$
$(f cdot g)(x) = (2x – 3) cdot (x^2 + 1)$
Kita dapat mengalikan kedua ekspresi ini menggunakan sifat distributif:
$(f cdot g)(x) = 2x(x^2 + 1) – 3(x^2 + 1)$
$(f cdot g)(x) = 2x^3 + 2x – 3x^2 – 3$
$(f cdot g)(x) = 2x^3 – 3x^2 + 2x – 3$

Untuk menentukan nilai dari $(f cdot g)(-1)$, kita substitusikan $x=-1$ ke dalam $(f cdot g)(x)$:
$(f cdot g)(-1) = 2(-1)^3 – 3(-1)^2 + 2(-1) – 3$
$(f cdot g)(-1) = 2(-1) – 3(1) – 2 – 3$
$(f cdot g)(-1) = -2 – 3 – 2 – 3$
$(f cdot g)(-1) = -10$

Jawaban b:
$(f cdot g)(x) = 2x^3 – 3x^2 + 2x – 3$
$(f cdot g)(-1) = -10$

c. Tentukan $(f circ g)(x)$.

Komposisi fungsi $(f circ g)(x)$ berarti kita memasukkan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Kita tahu $f(x) = 2x – 3$ dan $g(x) = x^2 + 1$.
Untuk mencari $f(g(x))$, kita ganti setiap $x$ pada $f(x)$ dengan ekspresi $g(x)$:
$(f circ g)(x) = 2(g(x)) – 3$
$(f circ g)(x) = 2(x^2 + 1) – 3$
$(f circ g)(x) = 2x^2 + 2 – 3$
$(f circ g)(x) = 2x^2 – 1$

Jawaban c: $(f circ g)(x) = 2x^2 – 1$

d. Tentukan $(g circ f)(x)$.

Komposisi fungsi $(g circ f)(x)$ berarti kita memasukkan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
Kita tahu $g(x) = x^2 + 1$ dan $f(x) = 2x – 3$.
Untuk mencari $g(f(x))$, kita ganti setiap $x$ pada $g(x)$ dengan ekspresi $f(x)$:
$(g circ f)(x) = (f(x))^2 + 1$
$(g circ f)(x) = (2x – 3)^2 + 1$
Kita perlu menguraikan $(2x – 3)^2$:
$(2x – 3)^2 = (2x)^2 – 2(2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 – 12x + 9$
Jadi,
$(g circ f)(x) = (4x^2 – 12x + 9) + 1$
$(g circ f)(x) = 4x^2 – 12x + 10$

Jawaban d: $(g circ f)(x) = 4x^2 – 12x + 10$

e. Apakah $(f circ g)(x) = (g circ f)(x)$? Jelaskan mengapa.

Dari hasil pada bagian c dan d, kita peroleh:
$(f circ g)(x) = 2x^2 – 1$
$(g circ f)(x) = 4x^2 – 12x + 10$

Jelas terlihat bahwa kedua ekspresi ini tidak sama.

Jawaban e: Tidak, $(f circ g)(x) neq (g circ f)(x)$.
Alasan: Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif. Urutan fungsi yang dikomposisikan sangat berpengaruh terhadap hasil akhir. Dalam kasus ini, ketika kita memetakan $g$ ke dalam $f$, kita mendapatkan $2x^2 – 1$. Namun, ketika kita memetakan $f$ ke dalam $g$, kita mendapatkan $4x^2 – 12x + 10$. Kedua hasil ini berbeda, sehingga komposisi fungsi $f$ dan $g$ tidak sama untuk kedua urutan tersebut.

Contoh Soal 3: Fungsi Invers dan Aplikasinya

Soal:

Diketahui fungsi $h(x) = frac3x + 1x – 2$, dengan $x neq 2$.

a. Tentukan invers dari fungsi $h(x)$, yaitu $h^-1(x)$.
b. Buktikan bahwa $(h circ h^-1)(x) = x$ dan $(h^-1 circ h)(x) = x$.
c. Jika diketahui $h(a) = 5$, tentukan nilai $a$.

Pembahasan dan Jawaban:

a. Tentukan invers dari fungsi $h(x)$, yaitu $h^-1(x)$.

Untuk mencari invers dari suatu fungsi, kita ikuti langkah-langkah berikut:

1. Ganti $h(x)$ dengan $y$.
2. Tukar variabel $x$ dan $y$.
3. Selesaikan persamaan untuk $y$ dalam bentuk $x$.
4. Ganti $y$ dengan $h^-1(x)$.

Langkah 1: Ganti $h(x)$ dengan $y$.
$y = frac3x + 1x – 2$

Langkah 2: Tukar variabel $x$ dan $y$.
$x = frac3y + 1y – 2$

Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk $y$.
Kalikan kedua sisi dengan $(y – 2)$:
$x(y – 2) = 3y + 1$
$xy – 2x = 3y + 1$

Pindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke satu sisi dan suku lainnya ke sisi lain:
$xy – 3y = 2x + 1$

Faktorkan $y$ dari suku di sebelah kiri:
$y(x – 3) = 2x + 1$

Bagi kedua sisi dengan $(x – 3)$:
$y = frac2x + 1x – 3$

Langkah 4: Ganti $y$ dengan $h^-1(x)$.
$h^-1(x) = frac2x + 1x – 3$

Jawaban a: $h^-1(x) = frac2x + 1x – 3$

b. Buktikan bahwa $(h circ h^-1)(x) = x$ dan $(h^-1 circ h)(x) = x$.

Ini adalah sifat dasar dari fungsi invers. Kita akan membuktikan dengan melakukan komposisi.

Bukti $(h circ h^-1)(x) = x$:
$(h circ h^-1)(x) = h(h^-1(x))$
Kita substitusikan $h^-1(x) = frac2x + 1x – 3$ ke dalam $h(x) = frac3x + 1x – 2$.
$h(h^-1(x)) = frac3left(frac2x + 1x – 3right) + 1left(frac2x + 1x – 3right) – 2$

Untuk menyederhanakan, kita samakan penyebut pada pembilang dan penyebut utama:
Pembilang: $3left(frac2x + 1x – 3right) + 1 = frac3(2x + 1)x – 3 + fracx – 3x – 3 = frac6x + 3 + x – 3x – 3 = frac7xx – 3$
Penyebut: $left(frac2x + 1x – 3right) – 2 = frac2x + 1x – 3 – frac2(x – 3)x – 3 = frac2x + 1 – 2x + 6x – 3 = frac7x – 3$

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam ekspresi komposisi:
$h(h^-1(x)) = fracfrac7xx – 3frac7x – 3$
$h(h^-1(x)) = frac7xx – 3 cdot fracx – 37$
$h(h^-1(x)) = frac7x7 = x$

Bukti $(h^-1 circ h)(x) = x$:
$(h^-1 circ h)(x) = h^-1(h(x))$
Kita substitusikan $h(x) = frac3x + 1x – 2$ ke dalam $h^-1(x) = frac2x + 1x – 3$.
$h^-1(h(x)) = frac2left(frac3x + 1x – 2right) + 1left(frac3x + 1x – 2right) – 3$

Sederhanakan pembilang dan penyebut utama:
Pembilang: $2left(frac3x + 1x – 2right) + 1 = frac2(3x + 1)x – 2 + fracx – 2x – 2 = frac6x + 2 + x – 2x – 2 = frac7xx – 2$
Penyebut: $left(frac3x + 1x – 2right) – 3 = frac3x + 1x – 2 – frac3(x – 2)x – 2 = frac3x + 1 – 3x + 6x – 2 = frac7x – 2$

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam ekspresi komposisi:
$h^-1(h(x)) = fracfrac7xx – 2frac7x – 2$
$h^-1(h(x)) = frac7xx – 2 cdot fracx – 27$
$h^-1(h(x)) = frac7x7 = x$

Jawaban b: Kedua bukti menunjukkan bahwa $(h circ h^-1)(x) = x$ dan $(h^-1 circ h)(x) = x$.

c. Jika diketahui $h(a) = 5$, tentukan nilai $a$.

Ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini:

Metode 1: Menggunakan definisi fungsi $h(x)$
Kita substitusikan $x=a$ ke dalam fungsi $h(x)$ dan samakan dengan 5.
$h(a) = frac3a + 1a – 2 = 5$

Kalikan kedua sisi dengan $(a – 2)$:
$3a + 1 = 5(a – 2)$
$3a + 1 = 5a – 10$

Pindahkan suku yang mengandung $a$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
$1 + 10 = 5a – 3a$
$11 = 2a$
$a = frac112$

Metode 2: Menggunakan fungsi invers
Jika $h(a) = 5$, maka berdasarkan definisi fungsi invers, $a = h^-1(5)$.
Kita gunakan fungsi invers yang telah kita temukan pada bagian a: $h^-1(x) = frac2x + 1x – 3$.
Substitusikan $x=5$ ke dalam $h^-1(x)$:
$a = h^-1(5) = frac2(5) + 15 – 3$
$a = frac10 + 12$
$a = frac112$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jawaban c: Nilai $a = frac112$.

Tips Sukses Menghadapi Soal Esai Fungsi

1. Pahami Definisi dengan Baik: Pastikan Anda benar-benar mengerti apa itu fungsi, domain, kodomain, dan range.
2. Latihan Soal Beragam: Kerjakan berbagai jenis soal, mulai dari yang sederhana hingga yang kompleks, termasuk soal cerita.
3. Tuliskan Langkah-langkahnya: Jangan terburu-buru menuliskan jawaban akhir. Jelaskan setiap langkah pemikiran Anda dengan jelas.
4. Gunakan Notasi Matematika yang Tepat: Gunakan simbol dan istilah matematika dengan benar.
5. Berikan Alasan: Untuk soal yang menanyakan "mengapa" atau "jelaskan", pastikan Anda memberikan justifikasi matematis yang kuat.
6. Periksa Kembali Jawaban Anda: Setelah selesai mengerjakan, baca kembali soal dan jawaban Anda untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan atau logika.
7. Manfaatkan Contoh: Pelajari contoh-contoh soal dan pembahasannya dengan seksama. Pahami alur berpikir di baliknya.

Dengan persiapan yang matang dan pemahaman konsep yang kuat, Anda akan mampu menjawab soal-soal esai fungsi dengan percaya diri dan mendapatkan hasil yang memuaskan. Selamat belajar!